Multiplications de chiffres

[anthoYS]

Bonsoir,

En fait j'ai remarqué que plus l'écart type d'une multiplication de nombres est petit, c'est-à-dire que les nombres multipliés entres sont voisins, alors le produits de ces derniers donnera un résultat plus important.

Et à l'inverse, plus l'ecart type est grand, plus le résultat sera petit ou moindre en comparaison d'une même moyenne de ces nombres.

Voir le fichier joint, qui prend le chiffre 5 comme exemple.

Avez-vous une explication?

Merci par avance.

 

[ROGER2327]

Re : Multiplications de chiffres

Bonsoir anthoYS

Votre remarque est parfaitement exacte. On peut même dire que l'écart type a été défini exprès pour qu'il en soit ainsi : l'écart type est bâti pour mesurer la dispersion d'une série de nombres par rapport à leur moyenne. Par définition, l'écart type d'une série de nombres tous égaux est nulle. Réciproquement, une série de nombres dont l'écart type est nul est une série de nombres tous égaux.
Un exemple simple : soit deux nombres x et y quelconques (i.e. différents ou égaux). On montre facilement à partir de sa définition générale que l'écart type de ces deux nombres est ABS(x-y)/RACINE(2). On voit que si x=y, alors x-y=0 et par conséquent ABS(x-y)/RACINE(2)=0. Par contre, si x<>y, alors x-y<>0, donc ABS(x-y)/RACINE(2)<>0. Il est évident que dans ce cas l'écart type est d'autant plus grand que ABS(x-y) est plus grand.
Il en va de même pour une série de plus de deux nombres. La définition générale est :
L'écart type d'une série de n nombres est la racine carrée du quotient de la somme des carrés des écarts de ces nombres à leur moyenne par (n-1).
Or une somme de carrés de nombres ne peut être nulle que si chaque carré est nul, c'est-à-dire ici, si chaque nombre est égal à la moyenne de tous les nombres.
Dès qu'un ou plusieurs nombres s'écartent de la moyenne de la série, la somme des carrés des écarts de ces nombres à leur moyenne est strictement positive, et d'autant plus grande que les écart sont plus grands.
Ce qui est conforme à votre observation.​

ROGER2327

 

[eriiic]

Re : Multiplications de chiffres

Bonsoir tout le monde,

Une façon d'aborder la question sans trop se préoccuper de l'ecart type:

C'est parce que si tu développes (a+b) (a-b) tu obtiens a² - b² (voir les identités remarquables)

Si tu pars de n.n= n² et que tu veux conserver la moyenne, le produit (entier) suivant sera (n+1).(n-1) qui est égal à n²-1 et est bien inférieur à n²
Et plus tu t'éloignes (et donc plus l'écart type augmente) plus la différence est importante (n+2).(n-2) = n²-4 etc

eric

 

[ROGER2327]

Re : Multiplications de chiffres

Re...

Bonsoir tout le monde,

Une façon d'aborder la question sans trop se préoccuper de l'ecart type:

C'est parce que si tu développes (a+b) (a-b) tu obtiens a² - b² (voir les identités remarquables)

Si tu pars de n.n= n² et que tu veux conserver la moyenne, le produit (entier) suivant sera (n+1).(n-1) qui est égal à n²-1 et est bien inférieur à n²
Et plus tu t'éloignes (et donc plus l'écart type augmente) plus la différence est importante (n+2).(n-2) = n²-4 etc

eric

Est-ce si sûr : La moyenne des trois nombres n+2a, n-a et n-a est n. Comparons le produit (n+2a).(n-a).(n-a) à n.n.n=n^3.
Premier cas :
n=4, a=1, (n+2a).(n-a).(n-a)=6.3.3=54<64=4.4.4 Parfait !
(Ecart type : 1,414213...)
Deuxième cas :
n=4, a=8, (n+2a).(n-a).(n-a)=20.(-4).(-4)=320>64 Bof !
(Ecart type : 13,856406...)
Troisième cas :
n=4, a=6, (n+2a).(n-a).(n-a)=16.(-2).(-2)=64 Horrible ! Voilà trois nombres tous différents de leur moyenne. Et leur produit est exactement égal au cube de leur moyenne.
(Ecart type : 10,392304...)
_
​

ROGER2327

 

[eriiic]

Re : Multiplications de chiffres

Bonjour roger,

J'avoue avoir du mal à suivre ton raisonnement.
Déjà parce que le mien se limitait aux produits de 2 nombres et dans ce cadre je pense qu'il se tient.
Ceci dit c'est vrai qu'en toute rigueur il faudrait partir des définitions avec des variables, développer et comparer tel que tu l'as fait dans ton 1er post.

Mais d'autre part sur produit de 3 nombres avec une série telle que tu la génères, le lien entre écart type et produit semble beaucoup moins évident sur l'ensemble de la courbe.
J'aurais tendance à dire que la constatation d'antoys ne s'applique pas dans ce cas, mais uniquement si on se limite aux produits de nombres positifs. Là oui, on constate un produit maximum pour un écart type minimum.

eric

 

[ROGER2327]

Re : Multiplications de chiffres

Re...

Je n'ai pas limité le problème aux seuls nombres positifs parce que la question posée ne m'avait pas paru présenter cette exigence. Je n'ai pas considéré seulement les produits de deux nombres parce que, dans le classeur joint, j'ai principalement vu des produits de plus de deux nombres. C'est pourquoi j'ai essayé de donner une réponse générale. Mais j'ai certainement mal compris. Ça m'arrive, et ce n'est pas bien grave (sauf pour moi).
La seule certitude que j'ai est que l'écart type est un indicateur de la dispersion d'une série de nombres par rapport à leur moyenne, et cela, qu'il y ait deux nombres (c'est un minimum), trois nombres, dix mille nombres, qu'ils soient entiers ou non, positifs ou négatifs.
Ce qui n'empêche pas que ce que vous dites dans le cas très particulier de deux nombres positifs est exact.
Notre ami a le choix...​

Bonne journée.
ROGER2327

 

[eriiic]

Re : Multiplications de chiffres

Et pour ma part je n'ai regardé que sommairement son tableau et vu surtout qcq exemple avec a et b d'où mon arret sur un produit de 2 nombres.... Ce qui m'a bien simplifié le truc ;-)
Remarque a.b ou 3.a.b ne change pas fondamentalement les choses.
Bonne am
eric

 

[ROGER2327]

Re : Multiplications de chiffres

Re...

(...)
Remarque a.b ou 3.a.b ne change pas fondamentalement les choses.
(...)
eric

Effectivement !
En voyant soit a x a x a x b x b x b (cellule G2) et aaabbb (cellule G3), j'avais bêtement compris a^3*b^3 et vu un produit de six nombres !!!
La honte !​

ROGER2327

 

[eriiic]

Re : Multiplications de chiffres

Bonjour roger,

Je viens de re-jeter un oeil au fichier, en fait c'est toi qui avais bien lu.
Mais vu l'interet que porte le demandeur aux réponses on va en rester là je crois ;-)
Bon we
eric

 

[ROGER2327]

Re : Multiplications de chiffres

Re...

Bonjour roger,

Je viens de re-jeter un oeil au fichier, en fait c'est toi qui avais bien lu.
Mais vu l'interet que porte le demandeur aux réponses on va en rester là je crois ;-)
Bon we
eric

Parfaitement ! Je suis assez agacé par la désinvolture de certains demandeurs. Nous essayons de bien faire, nous échangeons des points de vue afin de mieux cerner les demandes, et nous perdons quelquefois du temps...
Mais nous n'en perdons peut-être pas tant qu'il y parait : nos échanges nous sont utiles même si le demandeur ne revient pas... (Pour ma part, j'apprends beaucoup de la confrontation des idées des uns et des autres.)
​

Bonne soirée, et à la prochaine...
ROGER2327

 

[anthoYS]

Re : Multiplications de chiffres

Bonjour ROGER2327, eriiiic

Ne vous inquiétez pas vous n'ecrivez pas pour rien. Vos réponses je les aient lus au fur et à mesures et m'interessent.

Toutefois, le but était de vérifier, une chose, c'était par rapport à l'ecart type. Car, je me suis dit que la moyenne n'avait pas forcement d'impact sur le résultat final qui sera donc plus élevé si l'ecart type est faible voire nul.

Merci donc d'avoir confimé mais constations...