Premiers calculs de déterminants :
Dans son sens originel, le déterminant détermine l'unicité de la solution d'un système d'équations linéaires. Il fut introduit dans le cas de la taille 2 par Cardan en 1545 dans son Ars Magna, sous forme d'une règle pour la résolution de systèmes de deux équations à deux inconnues[1]. Cette première formule porte le nom de regula de modo.
Le japonais Kowa Seki introduit le premier des déterminants de taille 3 et 4, à la même époque que l'Allemand Leibniz.L'apparition des déterminants de taille supérieure demande ensuite plus de cent ans. Curieusement le Japonais Kowa Seki et l'Allemand Leibniz en donnèrent les premiers exemples presque simultanément.
Leibniz étudie de nombreux systèmes d'équations linéaires. En l'absence de notation matricielle, il représente les coefficients inconnus par un couple d'indices : il note ainsi ij pour ai, j. En 1678, il s'intéresse à un système de trois équations et trois inconnues et donne, sur cet exemple, la formule de développement suivant une colonne. La même année, il écrit un déterminant de taille 4, correct aux signes près[2]. Leibniz ne publie pas ces travaux, qui semblent avoir été oubliés avant que les résultats soient redécouverts indépendamment une cinquantaine d'années plus tard.
À la même période, Kowa Seki publie un manuscrit sur les déterminants, où il énonce une formulation générale difficile à interpréter. Celle-ci semble donner des formules correctes pour des déterminants de taille 3 et 4, et de nouveau des signes erronés pour les déterminants de taille supérieure[3]. La découverte restera sans lendemain, à cause de la coupure du Japon avec le monde extérieur.