Résolution d'un systeme

[pascal82]

Bonjour à tous et toutes,

Je dois résoudre un système et je ne sais pas comment procéder.
x,y,z et w 4 nombres à définir
(a)= opérateur arithmétique
I = Impair
P = Pair
Règle: un entier est pair s'il est congru à 0 modulo2 et impair s'il est congru à 1 modulo 2.

Le système est le suivant:
x(a)x=P
x(a)y=I
y(a)z=P
z(a)x=I
y(a)w=P
z(a)y=I
w(a)z=P
w(a)w=I

J'ai besoin dans le cas ou aucune solution existe, de déterminer w, x, y et z qui satisfassent le plus de solution du système
Pas de fichier joint parce que je ne sais pas par quoi commencer
Merci par avance

Cordialement

 

[Dranreb]

Re : Résolution d'un systeme

Bonjour
Ça part mal déjà pour l'addition et la multiplication:
x+x=P toujours vrai
x+y=I la parité de y doit différer de celle de x
y+z=P la parité de z doit être identique à celle de x
z+x=I cette condition ne peut donc jamais être atteinte

x*x=P x doit être pair
x*y=I x doit être impair

Aurais-je mal compris le problème ?
À +

 

[pascal82]

Re : Résolution d'un systeme

Bonjour Dranreb,

Il est vrai que le problème n'est pas facile, c'est pourquoi je fais appel au forum.
Je me doute bien qu'aucune solution existe pour satisfaire les 8 conditions, cependant j'ai besoin de la méthode pour déterminer celle qui répond à un max de solution, si possible bien sur.
Je joins quelques règles de base
P(+-)P=P
P(+-)I=I
I(+-)I=P
P(*)P=P
P(*)I=P
I(*)I=P
P(/)P=P
I(/)I=I
Merci

Cordialement

 

[pascal82]

Re : Résolution d'un systeme

Bonjour,

Petite solution sans méthode mais juste exploratoire

Cordialement

 

[Dranreb]

Re : Résolution d'un systeme

Pourquoi avez vous besoin de cela, juste pour le cas où le fond du problème me donnerait des idées ?
Le fait que le choix de l'opérateur n'est défini qu'en fonction des propriétés recherchées m'intrigue beaucoup.
N'y a t_il que ces 3 à envisager +- * / ?
Le dernier est ce une division entière ?
Vous avez utilisé le type Byte. Ma fois s'il n'y a que 4 variables pouvant aller de 0 à 255 on peut bien tout essayer avec les 4 opérateurs et retenir une liste des meilleurs, où le maximum de propriétés sont atteintes...
À +

 

[pascal82]

Re : Résolution d'un systeme

Bonsoir,

Vous avez parfaitement raison, le problème est que tout est envisageable et je ne sais pas quel bout commencer.
J'ai défini mes variables en Byte parce que je n'utilise que 1 et 2 dans l'exemple. l'exemple ne doit pas induire en erreur c'est juste un exemple.

Cordialement

 

[ROGER2327]

Re : Résolution d'un systeme

Bonsoir à tous

Je ne suis pas certain de bien comprendre le problème. En particulier les règles
I(*)I=P
P(/)P=P
car 1*1=1 ; 6/2=3.

Cela dit, les propositions suivantes sont-elles des solutions acceptables ?

x y z w
0 1 1 1 x+x=P x+y=I y+z=P z+x=I y+w=P z*y=I w+z=P w*w=I
0 1 1 1 x*x=P x+y=I y+z=P z+x=I y+w=P z*y=I w+z=P w*w=I
1 0 1 1 x+x=P x+y=I y*z=P z*x=I y*w=P z+y=I w+z=P w*w=I
1 1 0 1 x+x=P x*y=I y*z=P z+x=I y+w=P z+y=I w*z=P w*w=I
1 1 1 1 x+x=P x*y=I y+z=P z*x=I y+w=P z*y=I w+z=P w*w=I
​

ROGER2327
#5882

Samedi 28 Palotin 139 (Nativité de Saint Satie, Grand Parcier de l’Église d’Art - fête Suprême Quarte)
28 Floréal An CCXX, 9,5490h - buglosse
2012-W20-4T22:55:04Z

 

[mapomme]

Re : Résolution d'un systeme

Bonjour pascal82,

Un essai par une espèce de table de vérité. On compte dans la colonne NBOK le nombre d'expressions répondant à la cible.
0 (1) représente un nombre pair (impair).

 

[pascal82]

Re : Résolution d'un systeme

Bonsoir,

Merci pour avoir consacré de votre temps.

@Roger: Concernant les règles, je me suis trompé en recopiant bêtement sans vérifier, toutes mes excuses
Je n'ai probablement pas le niveau mais je ne comprends pas la logique que vous avez utilisé. Ma premiere impression est que le traitement me semble horizontal et que pour 4 variables il existe 10 solutions par opérateur arithmétique. Maintenant sans vouloir abuser de votre patience, je suis intéressé par votre raisonnement et votre simplification.

@mapomme: Je suis impressionné par la qualité de votre travail, je ne connaissais pas cet aspect de traitement.

En conclusion: Le maximum de bonnes réponses que l'on puisse obtenir pour satisfaire "à coup sur" le cahier des charges est de 6.
Encore merci

Cordialement

 

[ROGER2327]

Re : Résolution d'un systeme

Re...

Il y a bien plus que six solutions satisfaisant les huit conditions. Il y en a une infinité.
Prenons par exemple :
x | y | z | w
1 | 2 | 2 | 2
.
Il est clair que ces valeurs vérifient :
x-x=P | x-y=I | y-z=P | z-x=I | y+w=P | z/y=I | w.z=P | w/w=I.
Cette solution permet d'en déduire une infinité d'autres :
x=2.k+1, y=2.l, z=(2.m+1).y, w=2.n (où k, l, m, n sont des entiers quelconques, l et n différents de zéro) vérifient également les conditions ci-dessus :
x-x=0 (pair)
x-y=2.k+1-2.l=2.(k-l)+1 (impair)
y-z=y-(2.m+1).y=(1-2.m-1).y=2.m.y (pair)
z-x=2.l.(2.m+1)-(2.k+1)=2.((2.m+1).l-k)-1 (impair)
y+w=2.l+2.n=2.(l+n) (pair)
z/y=[(2.m+1).y]/y=2.m+1 (impair)
w.z=2.n.2.l.(2.m+1) (pair)
w/w=1 (impair)

Voici quelques exemples concrets :
*****x*******y*******z*******w
****-457****-122**-10370******68
***-1973******80***-4080******20
***-1957******96*****-96****-152
*****505******68***-4148******64
*****699*****-92***13708****-164


En fait, dès lors qu'on a une solution avec des variables valant 1 (impair) ou 2 (pair), on peut en déduire bien d'autres solutions. Il faudra toutefois étudier spécifiquement le cas de 0 (zéro) à cause de la division.

Le problème est de trouver les solutions à base de 0, 1 et 2. J'en ai pour l'instant 4289, mais je n'ai pas encore vérifié leur justesse. Je les donnerai quand j'aurai suffisamment vérifié la chose...​

ROGER2327
#5883

Dimanche 1er Merdre 139 (Accouchement de Sainte Jeanne, papesse - fête Suprême Tierce)
29 Floréal An CCXX, 9,3572h - sénevé
2012-W20-5T22:27:26Z

 

[mapomme]

Re : Résolution d'un systeme

Bonjour pascal82, ROGER2327 , le forum,

Je m'étais limité à un seul opérateur. ROGER2327 m'a incité à généraliser le principe des tables à plusieurs opérateurs.

Le fichier joint comporte un tableau (F1:N4) dans lequel on peut choisir au moyen d'une liste:
La variable n°1 (ligne1), la variable n°2 (ligne2), l'opérateur (ligne3) et le résultat souhaité (ligne 4)

Le tableau Résultat (G8:N23) affiche les résultats issus de la table de vérité en (A26 à D38)
(Une règle a été ajoutée pour la division: si r=s alors r/s=1 donc impair - cas s=0 non traité)

La colonne 'NB OK' compte le nombre de résultats conforme à la cible.
La colonne 'NB ?' compte le nombre de résultats indéterminés (qu'on pourra essayer de lever).
La colonne 'Max possible ?' est la somme des deux autres (cas où en levant toutes les indéterminations, on pourrait coller à la cible)
Je ne sais pas si le max possible est toujours atteignable.

Le cas cité par ROGER2327 (une fois les bons opérateurs, variables et valeurs cibles choisis) correspond à la ligne 2 du tableau résultat (max possible ? =8)
Il faudrait que x soit impair et y, z, w pairs. Il reste une indétermination à lever pour z/y => impair.
z multiple impair de Y, devrait être une condition nécessaire (suffisante ?) En tout cas les solutions de ROGER2327 le vérifient.

Le tableau TEST permet de saisir des valeurs pour x, y, z, w et de voir le résultat.

Un autre exemple: en gardant le même cas que ci-dessus mais en remplaçant l'avant dernière opération par un +/- ( w(+/-)z=P ) on s'aperçoit qu'une autre solution est possible (x impair et y, z, w impairs). Comme il y a de la division concernée, ou peut prendre x=4 et des multiples impairs de y, Ex: 3, 9, 15 (pour avoir des divisions entières correctes)

En espérant de pas m'être emmêlé les pinceaux dans les formules.

 

[pascal82]

Re : Résolution d'un systeme

Bonjour Roger, mapomme, le forum

Un grand merci pour la qualité et précision de vos réponses.

@Roger: Je ne peux que vous féliciter dans votre méthode de traitement.
Je n'avais pas suffisamment réfléchi et fais suffisamment de tests lors de votre post7, je viens juste de m'en apercevoir. Le cahier des charges initial stipulait un seul et même opérateur arithmétique pour les 8 tests que j'avais défini par "(a)" lors du post1 et me voila bien mal a l'aise de vous avoir laissé partir dans cette direction (choix multiple d'opérateur pour résoudre le système). Je vais tenter d'adapter votre raisonnement pour un seul et même opérateur

@mapomme: Votre fichier est une merveille et qui plus est adaptable à toutes les configurations. Le cas du traitement de la division semble le plus complexe à résoudre a cause de la décimale possible mais selon votre fichier offre la possibilité de 7 bonne réponses.

Encore merci pour votre implication

Cordialement

 

[mapomme]

Re : Résolution d'un systeme

(re)bonjour pascal82,

Pour la division la valeur 7 représente à priori la possibilité maximale mais rien ne dit qu'il existe un quadruplet répondant à cette possibilité. Je pencherai pour le contraire.

 

[mapomme]

Re : Résolution d'un systeme

(re)bonjour pascal82,

Pour la division, seules deux lignes (lignes sans X) du tableau résultat peuvent aboutir à une solution: La ligne 1 et la ligne 16 du tableau.

pour la 1ière ligne x, y, z, w doivent être pairs. Vous avez au moins ces deux équations à vérifier: y/z pair et z/y impair.
Donc z doit diviser y et y doit diviser z d'où y=z. Mais si y=z alors le quotient est égal à 1 et donc est forcément impair.
les deux équations n'ont pas de solution communes. On est donc forcément inférieur à 7.

On doit aussi vérifier y/w=P et w/z=P. Comme y=z, cela donne y/w=P et w/y = P, donc w divise y et y divise w d'où y=w. On a donc y=z=w.

On arrive aux équations :
x/x=P => faux
x/y=I => indéterminé mais pair sur pair
y/y=P => faux
y/x=I => indéterminé mais pair sur pair
y/y=P => faux
y/y=I => vrai
y/y=P => faux
y/y=I => vrai

x/y=I et y/x=I : x est multiple impair de y et y est multiple impair de x. A priori seule la valeur impaire 1 (pour les deux multiples impairs) répond à cette condition donc x=y
On obtient donc x=y=z=w. Si dans le tableau on choisit x pour unique variable on s'aperçoit que 4 est le maximun de conditions vérifiées à la fois.

Pour la ligne 16, x, y, z, w doivent être impairs. Une solution triviale est x impair et x=y=z=w et donne 4 conditions vérifiées.

Donc pour la division (sauf erreur!) 4 serait le maximum.

 

[ROGER2327]

Re : Résolution d'un systeme

Bonjour à tous

J'ai mal lu l'énoncé : tant pis pour moi.

Cinq conditions vérifiées avec la division :

x y z w x/x=P x/y=I y/z=P z/y=I z/x=I y/w=P w/w=I w/z=P
1 0 1 2 .FAUX .FAUX .VRAI .FAUX .VRAI .VRAI .VRAI .VRAI
1 1 1 2 .FAUX .VRAI .FAUX .VRAI .VRAI .FAUX .VRAI .VRAI
2 2 2 1 .FAUX .VRAI .FAUX .VRAI .VRAI .VRAI .VRAI .FAUX

On peut évidemment en déduire une infinité de solutions par la méthode exposée plus haut. Pour la première, par exemple :

179 0 2327 13962

​

ROGER2327
#5884

Lundi 2 Merdre 139 (Le Moutardier du Pape - Vacuation)
30 Floréal An CCXX, 6,1231h - houlette
2012-W20-6T14:41:43Z